Soluzioni di matematica 2012/2013

Eccovi le soluzioni del compito di matematica
Disponibili dalle 17 del 20 giugno.

Dominio di una funzione

Ricordiamo che una funzione è indicata mediante un'equazione che stabilisce un legame (insieme di operazioni matematiche) tra la variabile indipendente e la variabile dipendente. Se questa equazione è risolta rispetto ad una delle due variabili (per consuetudine rispetto alla y) la funzione si dice sotto forma esplicita e la indichiamo con il simbolo
se tutti i termini, variabili o no, sono al primo membro, la funzione si dice in forma implicita. Non sempre è possibile esplicitare una funzione.
Il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente (x) affinchè risultino reali e finiti i corrispondenti valori della variabile dipendente. Sinonimi di dominio sono: campo di esistenza, insieme di esistenza, insieme di definizione.
Il codominio o insieme di variabilità, è l'insieme dei valori assunti dalla y al variare di x nel codominio.
Le funzioni reali di variabile reali che sono assegnate mediante un'espressione analitica sono classificate in algebriche e trascendenti.
Le funzioni algebriche a loro volta si classificano come segue:

• razionali intere, se le operazioni che compaiono sono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamento a potenza con esponente intero positivo.
• razionali fratte se oltre alle operazioni appena elencate, compaiono anche divisioni o, per essere più precisi, frazioni con la variabile indipendente al denominatore.
• irrazionali se ci sono anche estrazioni di radice, ma anche qui è la variabile indipendente che deve essere "sotto" radice.

Le funzioni trascendenti sono una categoria più ampia, racchiudono tutte quelle funzioni che non sono algebriche, tra cui le goniometriche e le loro inverse, le esponenziali e le logaritmiche.

Passiamo adesso in rassegna alcune semplici regole per la determinazione del dominio di una funzione:

1. Le funzioni polinomiali hanno come dominio tutto R.
2. Le funzioni razionali fratte hanno per dominio tutto R, tranne quei valori che annullano il denominatore. Bisogna cioè porre il denominatore diverso da zero.
3. Per le funzioni irrazionali bisogna risolvere una disequazione, che si ottiene ponendo il radicando, quello che sta sotto radice maggiore o uguale a zero.
4. quando si ha di fronte un logaritmo, bisogna porre l'argomento maggiore di zero e la base deve essere un numero maggiore di zero e diverso da 1.
5. le funzioni esistono per ogni x reale, mentre esiste per

per


sono definite per
Le funzioni inverse della tangente e della cotangente, sono definite in tutto R.

Punti angolosi e cuspidi

Spesso, al fine di tracciare con cura il grafico di una funzione di dominio D, è utile calcolare i limiti della funzione derivata prima agli estremi finiti, se esistono, del suo dominio D'.

Quando i limiti destri e sinistri della derivata prima esistono, ma sono diversi, si ha un punto angoloso.
Quando questi limiti sono in finiti ma di segno opposto, si ha un particolare punto angoloso, detto cuspide.
Si ha un flesso a tangente verticale, quando i limiti sono infiniti ma dello stesso segno.

schematizzando , possiamo scrivere:
supponiamo sia un estremo finito del dominio della f', allora

• se si ha un punto angoloso;
• se si ha una cuspide;

• se si ha un punto di flesso verticale.
  

Ricerca di massimi e minimi di una funzione

Dopo aver presentato lo schema generale dello studio di una funzione, si può presentare il seguente metodo per ricercare i massimi e i minimi relativi:

• se in

si verificano entrambe le condizioni che la derivata prima in c si annulla e la derivata seconda è positiva, allora nel punto di coordinate
c'è un punto di minimo.

• Se si verificano entrambe le due condizioni

allora il punto di coordinate
è un punto di massimo.

Quanto detto fin qui si capisce perché quando la derivata seconda è positiva, allora volge la concavità verso l'alto, quindi ho un minimo; se è invece negativa la concavità è verso il basso, allora ho un massimo.

• Se si verificano entrambe le condizioni

allora per decidere del comportamento della funzione nel punto

è necessario studiare quello della derivata terza. Se questa è positiva, la funzione è crescente in c ed ha in esso un flesso con tangente orizzontale. Stessa cosa dicasi se la derivata è negativa, solo che questa volta la curva decresce.


Nel discorso fatto fino ad ora, si è supposta l'esistenza della derivata terza. Generalizziamo ancora di più il discorso e supponiamo che la nostra funzione sia definita in un intervallo qualsiasi chiuso e limitato e che nel punto c esistano tutte le derivate (finite) successive fino a quelle di ordine n. Se tutte le derivate di ordine inferiore ad n si annullano in c, avremo un massimo, un minimo o un flesso a seconda del valore assunto dalla derivata n-esima in c e dal valore di n: se n è pari e
la derivata n-esima calcolata in c è positiva, allora in c la funzione ha un minimo relativo, se n è dispari allora la curva è crescente in c ed ha in esso un flesso con tangente orizzontale.
Se n è pari e , allora in c ho un massimo relativo, se n è dispari ho un flesso a tangente orizzontale e la funzione in c decresce.

Studio di funzione

Uno dei modi possibili di presentare l'argomento, è quello di dare subito un senso a tutti i teoremi e alle formule che solitamente vengono presentate in lezioni precedenti a quella sullo studio delle funzioni. Dire che l'obiettivo finale di tutti gli argomenti oggetto di studio del programma di analisi matematica I è arrivare a capire e a rappresentare graficamente l'andamento di una funzione sarebbe, secondo me, l'approccio didattico giusto. Perché presentare lo studio delle funzioni a pezzi e a più riprese? Certo, il rischio è quello di mettere "troppa carne sul fuoco", ma dare subito un senso a quello che si studia aiuta a rendere l'argomento più interessante.
I passi fondamentali da seguire sono i seguenti:

• DOMINIO+ZERI+SEGNI
• LIMITI
• MASSIMI+MINIMI+FLESSI.

In questi tre punti è racchiusa tutta la conoscenza degli argomenti svolti precedentemente. I prerequisiti necessari allo svolgimento di questa lezione sono principalmente i seguenti:

• saper risolvere equazioni e disequazioni
• saper calcolare un limite
• conoscere le formule di derivazione.

Una volta capito qual'è il dominio, calcolare gli zeri, cioè i punti in cui la funzione si annulla, ossia i punti in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse, vuol dire svolgere l'equazione
Studiare il segno della funzione, vuol dire studiare le due disequazioni , .
Semplicemente si potrebbe dire che basta risolvere la disequazione .
Per quanto riguarda lo studio dei limiti, questi servono a determinare l'esistenza o meno di eventuali asintoti. Per semplificare questa ricerca basta seguire queste indicazioni:

• non esistono asintoti verticali se non ci sono punti singolari, cioè di discontinuità.

le funzioni polinomiali, cosiddette lisce perché continue ovunque, non hanno
asintoti verticali.

• non esistono asintoti orizzontali per le funzioni periodiche e per quelle il cui dominio è limitato.

Se, quindi, il punto è un punto di discontinuità, e

è un asintoto verticale.
La retta di equazione
è un asintoto orizzontale, se e solo se
.

• la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché vi sia un asintoto obliquo è che .

L'asintoto obliquo è una retta di equazione
dove
.
Anche per gli asintoti obliqui, si può ricordare che non esistono se la funzione ha un insieme di definizione limitato o se è periodica.

Nei punti in cui la derivata prima si annulla, vuol dire che la tangente alla curva, in quei punti, è parallela all'asse delle ascisse. per dire se si tratta di punti di massimo o di minimo, si deve studiare il segno della derivata prima. Anche in questo caso si tratta di risolvere una disequazione come sopra, solo che al primo membro questa volta c'è la derivata prima .
Lo studio della derivata seconda, ci permette invece di stabilire dove la curva ha la concavità rivolta verso l'alto e dove verso il basso. Nei punti di flesso la retta tangente attraversa la curva. una regola per stabilore se uno zero della derivata prima è un flesso o meno, è verificare che in quel punto la derivata terza non si annulli.(ovviamente abbiamo supposto che la funzione sia derivabile tre volte).

Punti angolosi e cuspidi si possono presentare successivamente. Intanto già con questi concetti ci si può cimentare nello studio di semplici funzioni.