Ordine di grandezza

In fisica o chimica spesso non ci interessa esattamente la dimensione di un pianeta o di una particella atomica, ci interessa conoscere l'ordine di grandezza.
Per capire cos'è l'ordine di grandezza di un numero dobbiamo conoscere cos'è la notazione scientifica. La potenza del 10 mi dice esattamente l'ordine di grandezza del numero.

Se mi trovo davanti

allora posso dire che questo numero esprime una grandezza dell'ordine di 10 alla quattordicesima. Questo vuol dire che devo spostare la virgola a destra di 14 cifre, in questo caso aggiungo 13 zeri. E' un numero grande. Potrebbe essere la massa di un pianeta. Se invece mi trovo davanti

allora posso dire che sto parlando di qualcosa di piccolissimo. Se è una massa è sicuramente una particella subatomica, se è una forza è sicuramente impercettibile. E' una grandezza dell'ordine di 10 alla meno ventisette. Per ottenere il numero non in notazione scientifica devo muovermi verso sinistra, otterrò 0,00000.......2. Dopo la virgola ci sono 27 cifre.
Se la cifra prima della virgola è più piccola di 5, allora la potenza del 10 resta com'è, se è maggiore di 5, ne aumento l'esponente di una unità.
7,2 che moltiplica 10 all'ottava, è un numero dell'ordine di 10 alla nona.

Notazione scientifica

Scrivere un numero in notazione scientifica vuol dire, semplicemente, utilizzare le potenze del 10.
È necessario, quindi, conoscere come si lavora con le potenze.
 Se, ad esempio, devo scrivere 5000 posso scrivere

   

 Ho moltiplicato il 5 per una potenza del 10, che ha come esponente il numero di zeri che seguono il 5. Se invece devo trasformare 0.05, allora scrivo

  

utilizzo una potenza negativa. L'esponente è uguale al numero di cifre dopo la virgola, preceduto dal segno meno. Quando devo risolvere un problema di fisica o chimica devo trasformare il risultato in un numero che ha una cifra compresa tra 1 e 9 prima della virgola.

ESEMPIO:     153,8 in notazione scientifica si scrive

 

                      0,25 in notazione scientifica si scrive

  

Sistemi lineari

Una scrittura del tipo
 
  è un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Le incognite sono la x e la y.
La parola "lineare" indica che le due equazioni sono di primo grado. Risolvere un sistema di questo tipo vuol dire trovare una coppia di numeri (x,y), che sostituiti alle variabili soddisfino contemporaneamente le due equazioni.
Un sistema che non sia quadrato (stesso numero di equazioni e di incognite), non è risolvibile.
Prima di risolvere un sistema ricondotto in "forma normale", ossia scritto come sopra, con i termini noti a sinistra dell'uguale e le variabili a destra, è opportuno calcolare i rapporti tra i coefficienti di x e x' e di y e y':
se questi sono tra loro diversi allora il sistema è determinato e bisogna trovarne la soluzione, altrimenti potrebbe essere indeterminato o impossibile.

 indica che il sistema è indeterminato

indica che il sistema è impossibile. Un sistema indeterminato ha infinite soluzioni, uno impossibile non ne ha nessuna.
Graficamente questo ha un suo significato: la soluzione di un sistema determinato rappresenta l'intersezione di due rette, se il sistema è indeterminato le due rette sono coincidenti, se è impossibile sono parallele.
Nei prossimi post tratterò i metodi di risoluzione.

software didattico

www.arcisio.com via kwout

calcolo letterale

Un ottimo sito per lo studio del calcolo letterale è a questo indirizzo:
 http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/Calcolo%20alge/index.htm
è di facile utilizzo anche per la presenza di una mappa che ti permette di navigare agevolmente tra le pagine che lo compongono.

monomi

Una scrittura del tipo  

in matematica si chiama   monomio. In particolare questo è un monomio formato da una parte letterale :   e una parte numerica: il 2 .
E' un monomio di grado  4. Il grado si  trova facendo la somma di tutti gli esponenti con cui compaiono le lettere che formano la parte letterale    http://www.pianetascuola.it/risorse/media/secondaria_primo/matematica/matematica_interattiva/classe3/popup/u3/teoria.htm  l'esponente con cui compare ogni lettera è detto grado rispetto alla lettera. Così a compare con grado 1, b compare con grado 3.   
Possiamo definire un monomio come un'espressione letterale  in cui, fra le lettere, compaiono solo moltiplicazioni e potenze. Gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.
  e   sono monomi simili (hanno la stessa parte letterale).
5ab  e -5ab sono opposti.

• somma di monomi simili    
• moltiplicazione di monomi      

   si fa il prodotto dei coefficienti(si chiama così la parte numerica) e il prodotto della parte letterale, ricordando le proprietà delle potenze.

Qui troverete una raccolta di esercizi per allenarvi. Nella sezione test potrete valutare anche i progressi fatti.
http://www.zanichellitest.it/#exercizer%20id=38  


   

www.zanichelli.zte: un sito interessante

L'utilizzo del computer e di internet è ormai entrato a far parte integrante delle nostre giornate. Se salta il collegamento alla rete ci sentiamo persi. A questo hanno contribuito molto i social network, vedi facebook, tant'è che anche la casalinga utilizza internet e non certo per fare la spesa...come invece prevedeva una pubblicità di qualche anno fa. Come insegnanti non possiamo restare ciechi e non vedere questo nuovo stato di cose e cercare di sfruttarlo a nostro vantaggio è il minimo che possiamo fare. Utilizzare il computer per fare matematica trasformandola in un gioco può servire a rendere concetti basilari, ma da molti alunni mai appresi, in semplici giochi online....di seguito ci sono alcuni siti che vi consiglio di visitare, anche se quello più completo resta, senza dubbio, quello della zanichelli :

www.zanichellitest.it/

di seguito altri link utili per far apprendere numeri naturali, interi  e razionali...giocando, o quasi.

http://www.wiris.net/indire.it/collection/it/index-num.html

 http://www.pianetascuola.it/risorse/media/secondaria_primo/matematica/matematica_interattiva/home.html
digilander.libero.it/sussidi.didattici/matematica/algebrahtml/algebra.html

Equazioni di secondo grado

Una volta applicati i principi di equivalenza e le regole che da questi derivano all'espressione di partenza, ci troviamo davanti a un'equazione di questo tipo:



al primo membro abbiamo un polinomio di secondo grado in x ordinato secondo le potenze decrescenti di x, c è il termine noto. Un'equazione di secondo grado ha due soluzioni, che si trovano applicando la seguente formula:



le due soluzioni si ottengono risolvendo la formula una volta col segno (+), una col segno (-).

Per convenzione si chiama x1 la soluzione più piccola, x2 quella più grande.

La quantità sotto radice la possiamo indicare col simbolo "delta":


e facciamo queste considerazioni:

• se , ci sono due soluzioni reali e distinte
• se ci sono due soluzioni reali, ma coincidenti
• se ci sono due soluzioni complesse.

Esempio :

applico la formula

poiché la quantità sotto radice è negativa, le soluzioni saranno complesse.
Per poter calcolare queste due radici, bisogna ricorrere a questa formula:

quindi


ricorrendo all'unità immaginaria i e alle formule sui radicali, si ottiene







.

Equazioni numeriche frazionarie

Un’equazione è frazionaria se la x compare al denominatore. Prima di procedere con la risoluzione di un’equazione di questo tipo, bisogna determinare quali sono le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche che compaiono nell’espressione.

Esempio : il campo di esistenza della frazione , si ottiene risolvendo , che ha come risultato il che significa che la soluzione non può essere 1.

Sia da risolvere l’equazione ; il campo di esistenza è stato già trovato, si procede in questo modo:

si trova il m.c.m. che è e moltiplico tutta l’equazione per il m.c.m. trovato, ottenendo

in questo caso l'equazione è impossibile (vedi post precedente).

Risoluzione di un'equazione lineare intera

Risolviamo l'equazione



si trova il minimo comune multiplo tra 2 e 5 e applicando il secondo principio di equivalenza, si ottiene la seguente equazione equivalente a quella di partenza:



Il passaggio successivo consiste nell'applicare la regola del trasporto:



Per il secondo principio, posso dividere primo e secondo membro per 5

.
Si verifica l'esattezza o meno della soluzione, andando a sostituire il numero trovato al posto dell'incognita. In questo caso si ottiene :


Non è difficile notare che applicando i principi di equivalenza, l'equazione di primo grado intera è stata trasformata in un'altra equazione equivalente scritta nella forma

tale che il primo membro contenga il termine con l'incognita e il secondo il termine noto( quello senza la x ).
Se (si legge "a diverso da zero"), per risolvere l'equazione si applica il secondo principio e si ottiene la soluzione

Si osserva quanto segue:
se l'equazione è determinata;
se è indeterminata, se è impossibile.

Nel prossimo post ci saranno le equazioni fratte.